Fout

In het vorige blogbericht heb ik uitgelegd wat het verschil is tussen een bedrag optellen (aftrekken) of een percentage optellen (aftrekken) en waarom het de enige juiste methode is om het met een percentage te vermenigvuldigen. Dus in plaats van 10% er bij op te tellen, vermenigvuldig je met 1,1 = 110%.
Reden daarvan is dat het voorkomt dat je een fout zou maken als percentages bij elkaar op te tellen: 50% eraf en nog eens 50% eraf is 100% eraf. Of 100% erbij en nog eens 100% erbij is 200% erbij. Nee, reken maar na, in het eerste geval kom je op 75% eraf en in het tweede geval kom je op 300% erbij!
Nog merkwaardiger wordt het bij 50% eraf en dan 100% erbij, dat komt op 0% uit, maar dom gerekend zeg je: er komt 50% bij.
Het is wel te begrijpen dat die fout gemaakt wordt, want voor kleine percentages, zeg onder de 5%, is dat optellen bij benadering wel goed. Tenzij je dat te vaak doet, want dan gaat het weer fout.

Maar daar doel ik niet zozeer op met mijn titel. Nee, ik richt me op de daaruit voortvloeiende fout die de zogenaamde analisten regelmatig maken, die zelfbenoemde deskundici met hun wetenschappelijke aandoende benaming, die ons hun speculatieknollen voor investeringscitroenen willen verkopen.
Niet zelden menen die - terecht - te moeten wijzen op de grote risico's die gepaard gaan met beleggen en de reden die ze daarvoor aanvoeren is dat om het verlies weer goed te maken als je 50% verloren hebt, er een winst van 100% nodig is en dat die vele malen onwaarschijnlijker zou zijn. Of op kleinere schaal, een verlies van 20% vergt een winst van 25% ter compensatie.
Maar zoals ik in eerder genoemd blogbericht uitlegde, die kansen schelen niet zoveel. Of je met 1/2 of met 2 vermenigvuldigt is ongeveer gelijk, net als met 4/5 of met 5/4.
Nee, als ik zoiets lees van zo'n analist dan weet ik dat hij (zelden of nooit is het een zij) in ieder geval niet weet waarover hij het heeft.

Hoe kunstmatige koersen te maken.

In een vorige blog wijdde ik aandacht aan de hypothese tussen èchte en kunstmatige koersen. Ik gaf een drietal grafieken en de lezer zou moeten kunnen raden welke aandelen of andere beleggingsinstrumenten daarmee werden weegegeven.

Toch was het niet vreselijk moeilijk om te zien dat die grafieken gemáákt waren. Ik had immers, gestuurd door het met behulp van een computer opgooien van een munt, steeds één euro erbij (kop) of eraf (munt) gedaan. En dat is onrealistisch, want iedereen weet dat de verschillen van twee beurskoersen, zeg op opeenvolgende dagen, een percentage is van de koers. Het maakt dus een heel verschil of je een koers rond de € 10 bekijkt of rond de € 100. Meestal namelijk is het dagelijks verschil zo rond de 1% en bij dat tweede aandeel is dat dus ongeveer één euro, maar bij dat eerste aandeel zou een verschil van één euro maar liefst 10% betekenen, een koersuitslag die zelfs in een hectische beurs hoogst uitzonderlijk is.

Het verschil tussen een percentage of vast bedrag is niet onaanzienlijk: als ik er 100 keer één euro bij doe heb ik

€ 200, terwijl als ik er 100 keer 1% bij doe, komt het op € 270,48. En net zo, als ik er 100 keer een euro afdoe op € 0 uitkom, terwijl 100 keer met 1% verminderen je van € 100 nog altijd op € 36,60 overhoudt.

Het zou dus de voorkeur verdienen er niet steeds een bedrag bij op te tellen of af te trekken, afhankelijk van de kop of munt, maar een percentage erbij op te tellen of af te trekken.

Toch heeft zo’n percentage een bezwaar, wat een bedrag erbij of eraf doen niet heeft. Als ik er één euro afdoe en daarna weer één euro erbij, kom ik weer op hetzelfde bedrag uit. En omgekeerd ook. Dus een bedrag erbij tellen is het tegengestelde - de inverse bewerking – van een bedrag eraf trekken.

Maar niet bij percentages. Het duidelijkst is dat te zien bij wat grotere percentages, zeg 50%. Als ik € 100 met 50% vermeerder en dan met 50% verminder kom ik op 50% x € 150 = € 75 en dat is een stuk minder dan waar ik mee begon. Ook eerst verminderen en dan vermeerderen levert iets anders op dan het beginbedrag: 150% x € 50 = € 75.

Dit kan worden opgelost als je je realiseert dat een percentage toevoegen eigenlijk betekent: vermenigvuldigen. Dus 50% toevoegen is keer anderhalf = 3/2 . En het tegengestelde daarvan is niet: 50% nemen, dus met 1/2 vermenigvuldigen, maar: vermenigvuldigen met het omgekeerde, dus met 2/3. Dan krijgen we: 2/3 x € 150  = € 100 en 3/2 x € 75 = € 100.

Samengevat: we krijgen een realistischer beeld als we bij het opgooien van een munt bij kop het bedrag met 101/100 vermenigvuldigen en bij munt met 100/101.

Als ik nu van de drie varianten grafieken zou maken – in blauw met een vaste euro erbij of eraf, in rood met 1% erbij of eraf en in groen met 101/100 of met 100/101 vermenigvuldigd – dan krijgen we de volgende twee (toevallige) plaatjes.

Het is duidelijk, uit de eerste grafiek, dat de blauwe variant desastreus kan uitpakken, zoals we hierboven al zagen met 100 keer een euro eraf. We komen, in dit geval, zelfs op een negatief bedrag van € 60!

En uit de tweede grafiek blijkt dat ook bij een positieve ontwikkeling die (blauwe) variant achterblijft

Overigens is het natuurlijk niet erg realistisch om iedere keer met een vast bedrag of percentage te vermeerderen of verminderen of met een vaste factor te vermenigvuldigen. Die zullen een spreiding moeten vertonen.

Hoewel niet gezegd kan worden dat een aandeel, of welke beleggingsmogelijkheid dan ook zich volgens het ene of het andere scenario voltrekt, lijkt het meest realistisch het model met een variabele factor te nemen. Daartoe nemen we een factor die lognormaal verdeeld is, dat is een wiskundige uitdrukking voor de volgende figuur.

Deze komt vrij goed overeen met wat een aandeel zoal laat zien, zij het dat vaak een zgn. “fat tail” wordt vertoond, waarbij sommige waarden rechts in de realiteit groter zijn. Maar deze benadering is goed genoeg voor mijn doel, artificiële koersen genereren.

Samengevat doe ik dat dus als volgt.

1. ik genereer willekeurige getallen tussen 0 en 1
2. die zet ik met behulp van de inverse normale cumulatieve verdeling om in getallen die normaal verdeeld zijn
3. daarvan neem ik de e-macht en krijg vervolgens getallen die lognormaal verdeeld zijn, zo als in de laatste grafiek
4. die vermenigvuldig ik cumulatief en met de beginwaarde om zo een kunstmatige koers te verkrijgen

De enige variabelen die ik gebruik zijn het gemiddelde en de spreiding van de normale cumulatieve verdeling. Voor het gemiddelde zal ik altijd 0 kiezen, dus is het gemiddelde van de lognormale verdeling dan 1, de spreiding kan ik variëren, die komt overeen met wat in de beleggingstheorie de volatiliteit wordt genoemd.

100 willekeurige koersen

Als ik die kunstmatige koersen heb, zoals hierboven waar er 100 willekeurig gegenereerd zijn, kan ik allerlei strategieën uittesten. Want als ze niet op willekeurige koersen werken is het de vraag of ze überhaupt wel werken.

Toeval

De eerste grafiek is zo te zien het verloop in de tijd van een beleggingsproduct. Ik ben benieuwd of duidelijk is welk product en over welke tijd. Het zou me verwonderen als dat geraden zou kunnen worden.

Dan een nieuwe grafiek, misschien is deze makkelijker. Enig idee? 

Laatste kans, een makkie:

Niemand hoeft zich iets te verwijten als hij of zij niet bij benadering de juiste onderliggende waarde en/of de tijdsperiode heeft geweten. Want deze grafieken zijn artificieel. Sterker nog, ze zijn gemaakt door op de computer het opgooien van een munt te simuleren.

Iedere keer als er kop boven komt wordt er een euro bijgeschreven, als er kop boven komt, gaat er een euro vanaf. En dat 10.000 keer, wat zou overeenkomen met een kleine 40 jaar aan dagkoersen.

Zoals te zien is het onderscheid met een echte koersgrafiek nihil.

De vraag is dan natuurlijk of ook èchte koersen door het toeval worden bepaald. Ik kan die vraag niet beantwoorden. Er is echter geen reden aan te nemen dat het niet zo is. Met andere woorden, we kunnen, zoals hierboven aangetoond, vrij eenvoudig een toevalsproces maken dat koersgrafieken genereert. En ik denk dat niemand op grond van de verstrekte gegevens zal kunnen uitmaken welke koersen echt zijn en welke kunstmatig.

Dat geldt niet altijd.

Als je mensen vraagt kop-of-munt te simuleren en bijvoorbeeld een volgorde van 50, bedachte!, uitkomsten op te schrijven, en die worden naast een echte opgooisessie van 50 keer gelegd, dan haalt een deskundige de bedachte er achter mekaar uit. Omdat een mens denkt dat een groot aantal keren kop of munt achter elkaar onwaarschijnlijk is, terwijl het in de praktijk toch regelmatig voorkomt.

Hier is een voorbeeld van zo'n echte rij: kmkmmmkmkkmkkkkkkkkkkkmmmkmkmkmmkkmkmkmmmkmmkmkkkk. Je ziet, maar liefst 10 keer kop achter elkaar.

Of zoals een statisticus zeer plastisch opmerkte, de uitkomsten hebben de neiging te klonteren.

Een andere observatie.

Als rolmodel voor alle beleggers wordt vaak Warren Buffett genoemd. Hij heeft furore gemaakt door tientallen jaren achter elkaar hoge rendementen te halen, reden waarom hij nu één van de rijkste mensen ter wereld is. Er zijn talloze boeken volgeschreven over hem en even talloze mensen proberen hem te imiteren door zijn 'regels' toe te passen. (Het mooie van die regels is dat de laatste regel luidt dat je niet teveel aan je regels moet vasthouden! Wat Buffett heeft toegepast door in 2009, ondanks dat hij altijd beweerde dat derivaten "weapons of mass destruction" waren voor de financiële wereld, voor maar liefst 15 miljard dollar aan derivaten te verkopen!!!)

Er kan ook een andere verklaring zijn voor zijn enorme winsten.

Stel dat in Amerika, dat een 300 miljoen inwoners heeft, er 134.217.728 daarvan op enig moment beginnen te beleggen met $100. Zonder dat ze het weten is het echter zó op de beurs dat iedere belegger een kans van 50% heeft op quitte (ooit geweten dat dit woord zó gespeld moet worden?) of dubbel. Dus de helft zal na één jaar al hun geld kwijt zijn, de andere helft heeft na één jaar $200 en vindt zichzelf een hele piet.

Dat gaat zo jaren achter elkaar door. Dus na 5 jaar zijn er nog een goeie 4 miljoen (4.194.304 om precies te zijn) die ieder $3.200 hebben en apetrots zijn. Wie doet hen dat na, 5 jaar lang 100% per jaar?

Maar de overigen, ruim 130 miljoen, hebben niks meer!

De succesvolle beleggers gaan rustig door, zij hebben immers bewezen de truc te beheersen. Na nog eens 5 jaar, dus 10 jaar in totaal, zijn er nog 131.072 succesvol en hoe! Hun vermogen is inmiddels aangegroeid tot $102.400. En de rest, dat is bijna iedereen, heeft niets meer.

Je voelt al hoe het verder gaat: na 28 jaar is er nog slechts één superbelegger over en die heeft het lieve sommetje van $13.421.772.800, net zoveel als al die beleggers daarvoor samen hadden. En al die anderen, die niet alleen hun inleg kwijt zijn, maar ook nog eens spijt als haren op hun hoofd hebben dat ze niet eerder uitstapten, zijn alles kwijt.

Superbelegger zei u? Of mazzelkont?

Uiteraard is het bovenstaande een verregaande en niet realistische vereenvoudiging van wat ik denk wat er werkelijk aan de hand is: beurskoersen worden in hoge mate bepaald door toeval, net als vele andere processen in het leven van alle dag, in geringe mate door het gedrag van de beleggers en voor een minimaal deel door economische processen.

Vraag voor een volgende keer is in welke mate allerlei beleggingstheorieën, uitgaande van dit model, nog opgeld doen.